Facultad de Ciencias Naturales y Exactas

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UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Variable Compleja (111089M) (Matemáticas) (4 créditos) (4 horas/semana) (Habilitable) (Prerrequisito: Análisis II (111082M))

Objetivos
Al finalizar el curso el estudiante debe tener un conocimiento básico de la teoría clásica de funciones de variable compleja de tal forma que:

  1. Maneje sólidamente los resultados generales, tales como el Teorema de Cauchy, en que esta se apoya.
  2. Utilice adecuadamente dichos resultados en aplicaciones tales como la evaluación de ciertas integrales definidas las cuales no se pueden evaluar por los métodos del cálculo.

Contenido

Unidad 1: Sistema de los Números Complejos (1/2 semanas)
El campo de los número complejos. El plano Complejo. Representación polar y raíces de números complejos. Líneas y semiplanos en el plano complejos. El plano extendido y su representación esférica.

Unidad 2: Funciones Complejas (2 1/2 semanas)
Límites y continuidad. Funciones analíticas. Polinomios y funciones racionales.

Unidad 3: Series de Potencia (4 Semanas)
Sucesiones y series de números complejos. Series de potencias. La función exponencial y las funciones trigonométricas. Transformaciones de Mobius. Aplicaciones conformes elementales.

Unidad 4: Integración en el plano complejo (4 semanas)
Integrales de línea. Teorema de Cauchy para un rectángulo. Teorema de Cauchy en un disco circular. Fórmula de la integral de Cauchy. Representación en series de potencias de funciones analíticas. El principio de módulo máximo. Forma general del teorema de Cauchy.

Unidad 5: Singularidades (4 semanas)
Clasificación de singularidades. Residuos. Cálculo de integrales definidas. Principio del argumento.

Unidad 6: El teorema de Cauchy (versión fuerte) (1 semana)
Índice de una trayectoria cerrada respecto a un punto. Invarianza del índice respecto a las componentes convexas.

Unidad 7: El principio del módulo máximo (2 semanas)
El lema de Schwartz. El principio del máximo para regiones acotadas y no acotadas.

Bibliografía

  1. Conway, J.B. Functions of one complex variabel, Springer-Verlag, Second edition, (1978).
  2. Lang, S. Complex Analisys, Springer-Verlag, Second edition, (1985).
  3. Ahlfors, L. A. Complex analysis, McGraw-Hill book company, (1953).