Facultad de Ciencias Naturales y Exactas

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UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Topología General (111085M) (Matemáticas) (4 créditos) (4 horas/semana) (Prerrequisito: Análisis I (111079M), Teoría de Conjuntos (111074M))

Objetivos
Preparar al estudiante de matemáticas en los conceptos, propiedades y resultados principales de la teoría de los espacios topológicos abstractos. Al final del curso el estudiante debe poder reconocer cuándo una propiedad es topológica y cuándo no y haber aprendido los ejemplos y contraejemplos fundamentales de esta teoría.

 

Contenido

Unidad 1: Espacios Métricos.
Métricas sobre un conjunto, espacios métricos, espacios normados, métrica inducida por una norma, bolas abiertas y conjuntos abiertos, funciones continuas, homeomorfismos, métricas equivalentes, abierto relativo, conjuntos abiertos y continuidad.

Unidad 2: Espacios Topológicos.
Definición de espacio topológico, funciones continuas, propiedades topológicas vs propiedades métricas, topología relativa, topología inducida, topología cociente, bases y subbases de una topología, topología producto, interior, frontera y vecindades; conjuntos cerrados, adherencia y puntos de acumulación; espacios T1 y espacios de Hausdorff (T2).

Unidad 3: Espacios Topológicos Conexos.
Definición de espacio conexo. Conexidad en R. Funciones continuas y conexidad, espacios arcoconexos, relación entre conexidad y arcoconexidad, componentes conexas, espacios totalmente disconexos, espacios localmente conexos y localmente arcoconexos.

Unidad 4: Convergencia y Espacios Métricos Completos.
Convergencia de sucesiones en espacios métricos, subsucesiones, convergencia y continuidad, caracterización por sucesiones de conjunto abierto, punto adherente y punto de acumulación; convergencia en espacios topológicos, espacios E1, sucesiones de Cauchy, funciones uniformemente continuas, espacios métricos completos y sus propiedades, subconjuntos densos, extensión de una aplicación uniformemente continua, completamiento de un espacio métrico, el espacio l2.

Unidad 5: Espacios Topológicos Compactos.
Recubrimientos y subrecubrimientos, conjuntos compactos, propiedades generales de los espacios compactos, la propiedad de intersección finita, teorema de Heine-Borel, propiedad de Bolzano-Weierstrass, continuidad y compacidad, producto finito de espacios compactos, espacios secuencialmente compactos, espacios métricos compactos, espacios totalmente acotados, espacios localmente compactos, compactificación de un espacio topológico, compactificación de Alexandrov.

Unidad 6: Separación y Espacios Metrizables.
Bases enumerables, espacios E2 y sus propiedades fundamentales, espacios normales, espacios T4, espacios de Lindelöff y espacios separables, lema de Uryson, teorema de metrización de Uryson, espacios regulares, espacios T3, condiciones suficientes de metrizabilidad.

 

Texto Guía
Seymour Lipschutz. General Topology. Schaum Publishing Co. 1965.

 

Bibliografía

  1. James R. Munkres. Topology, a first course. Prentice-Hall. 1975
  2. G. F. Simmons. Introduction to Topology and Modern Analysis. McGraw-Hill. 1963.