Facultad de Ciencias Naturales y Exactas

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UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Teoría de Conjuntos (111074M) (Matemáticas) (4 créditos) (4 horas/semana) (Habilitable) (Prerrequisito: Algebra Lineal I (111071M), Lectura de textos Académicos en Inglés I (204101M))

Objetivos

  1. Proporcionar una adecuada formación en los elementos básicos de la Teoría de Conjuntos
  2. Introducir la teoría axiomática de Zermelo-Fraenkel (ZF)
  3. Ilustrar que una axiomática al estilo (ZF), junto con el axioma de elección, constituyen un fundamento de las matemáticas.
  4. Presentación de los números cardinales y ordinales.

 

Contenido

Unidad 1. Conjuntos
Introducción a los conjuntos: presentación intuitiva del concepto de conjunto, propiedades básicas, la paradoja de Russell e introducción a una axiomática al estilo de Zermelo-Fraenkel-Skolem. Los axiomas iniciales: existencia del conjunto vacío, extensionalidad, comprensión, de pares, de unión y de potencias. Operaciones elementales sobre conjuntos: unión, intersección, diferencia simétrica, propiedades distributivas y leyes de De Morgan..

Unidad 2. Relaciones, Funciones y Órdenes
Pares ordenados, relaciones, dominios, imagen, imagen inversa, funciones, composición, funciones inyectivas ó uno a uno, funciones sobreyectivas, y funciones biyectivas. Equivalencias y particiones. Órdenes, isomorfismos entre órdenes, cadenas, elementos minimales y maximales, mínimos y máximos, ínfimos y supremos. El axioma de regularidad.

Unidad 3. Números Naturales
Introducción, conjuntos inductivos, el axioma de infinito, el principio de Inducción, el principio de Inducción Fuerte, el Teorema de Recursión, suma y multiplicación de naturales, conjuntos finitos y conjuntos enumerables.

Unidad 4. Cardinalidad
Cardinalidad de un conjunto, teorema de Cantor-Bernstein, conjuntos finitos y numerables, ordenes lineales y conjuntos no numerables. Construcción de los números enteros y racionales, e introducción a la construcción de R .

Unidad 5. Números Cardinales Y Ordinales
Aritmética cardinal, teorema de Cantor, la cardinalidad del continuo, principio de inducción. Conjuntos bien ordenados, transitivos, ordinales, el axioma de reemplazo, el teorema de recursión, inducción transfinita, el teorema de recursión transfinita y aritmética Ordinal. Los Alephs, ordinales iniciales, números de Hartogs, suma y multiplicación de Alephs.

Unidad 6. El Axioma de Elección (AE) y ZF + AE
Equivalencias del axioma de elección, principio de buena ordenación, lema de Zorn, el uso del axioma de lección en matemáticas. Aritmética Cardinal, sumas infinitas y multiplicación de números cardinales, teorema de König, cardinales regulares y singulares, cofinalidad, la hipótesis generalizada del continuo, y exponenciación de cardinales. Conjuntos constructibles, y el universo de la teoría de Conjuntos.

 

Metodología
Clases magistrales por parte del profesor. Discusión de ejercicios, y ciertas lecturas asignadas.

 

Evaluación
Se obtendrán dos calificaciones, cada una de los cuales tendrá igual valor con respecto a la nota final. Estas calificaciones estarán dadas por dos exámenes parciales, y participaciones en el curso. Por participaciones se entiende todo aquello que brinde información del trabajo del estudiante por fuera de los paricales; específicamente tareas, exposiciones, solución de ejercicios e intervenciones en clase entre otros. Las calificaciones de las participaciones sólo mejorarán las calificaciones de los parciales respectivos.

 

Texto Guía
Karel Hrbacek and Thomas Jech. Introduction to Set Theory, Third Edition. Revised and Expanded, Marcel Dekker, Inc. 1999

 

Bibliografía

  1. José M. Muñoz Q. Introdución a la Teoría de Conjuntos, Cuarta Edición. Facultad de Ciencias, Universidad Nacional de Colombia, 2002
  2. Carlos Augusto Di Prisco. Una Introdución a la Teoría de Conjuntos, Primera Edición. Centro de Lógica, Epistemología e Historia de la Ciencia. Universidad de Campinas (Brasil), 1997
  3. Guillermo Restrepo. Fundamentos de la Matemática, Primera Edición. Centro Editorial - Universidad del Valle, 1994
  4. Paul R. Halmos. Naive Set Theory. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1974
  5. L. E. Sigler. Exercises in Set Theory. Springer-Verlag, 1976
  6. Renato Lewin. Teoría Axiomática de Conjuntos (110 páginas). Pontificia Universidad Católica de Chile
  7. Thomas J. Jech. The Axiom of Choice. North Holland Publishing, 1973
  8. Michael Potter. Set Theory and its Philosofhy. Oxford University Press, 2004
  9. Yiannis Moschovakis. Notes on Set Theory. Second Edition. Springer Science+Business Media, Inc., 2006
  10. Kenneth Kunen. The Foundations of Mathematics. Mathematical Logic and Foundations, 2009