Facultad de Ciencias Naturales y Exactas

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UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Ecuaciones Diferenciales (111049M) (OCT) (Matemáticas) (4 créditos) (9 horas/semana) (Habilitable) (Prerrequisitos: Cálculo III (111052M) (Cursado), Álgebra Lineal (111048M)(Aprobado))

Objetivos

  1. Dominar algunas técnicas útiles en al determinación de soluciones explícitas de ecuaciones diferenciales: separación de variables, ecuaciones exactas, cambios de variables, polinomio característico, reducción de orden, variación de parámetros, series de potencias y separación de variables en ecuaciones parciales.
  2. Interpretar las soluciones de las Ecuaciones Diferenciales en contextos específicos.
  3. Aplicación de los Teoremas Fundamentales de las Ecuaciones Diferenciales ordinarias: Teorema de existencia y unicidad de soluciones

 

Contenido

1. Unidad 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden y aplicaciones. (5 semanas).
Nociones fundamentales. Variables separables. Ecuaciones exactas. Factores integrantes. Ecuaciones homogéneas. Ecuaciones lineales. Ecuación de Bernoulli. Ecuación de Clairaut. Trayectorías ortogonales. Leyes de crecimiento y decrecimiento. Problemas en mecánica. Problemas de mezclas.

2. Unidad 2. Ecuaciones lineales de orden superior y aplicaciones (5 semanas).
Ecuaciones reducibles a primer orden. Teoremas básicos de ecuaciones diferenciales lineales. Solución fundamental de ecuaciones lineales homogéneas y no homogéneas. Reducción de orden. Método de coeficientes indeterminados. Operadores difrenciales. Variación de parámetros. Ecuaciones de Cauchy-Euler. Vibraciones mecánicas y movimiento armónico simple. Movimiento oscilatorio amortiguado. oscilaciones forzadas.

3. Unidad 3. Solución de ecuaciones diferenciales mediante series (3 semanas).
Solución en serie de potencias en torno a puntos ordinarios. Solución en torno a puntos singulares. El Método de Frobenius. Ecuaciones de Bessel y de Legendre.

4. Unidad 4. Transformaciones de Laplace (3 semanas).
Definición y propiedades elementales. Transformada inversa. Teorema de traslación. Transformada de derivadas e integrales. Derivación e integración de transformadas. Transformadas de funciones periódicas. Solución de problemas de valores iniciales.

 

Bibliografía

  1. Edwards y D.E. Benney. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones. Prentice-Hall Hispanoamericana, México, 1986.
  2. W.E. Boyce y R.C. Di Prima. Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores de Frontera. imusa-Wiley, México, 1972.
  3. S.L. Ross. Ecuaciones Diferenciales. Reverté, Barcelona, 1981.
  4. G. F. Simmons. Ecuaciones Diferenciales. MacGraw-Hill, México, 1977.
  5. Graciano Calderón y Jaime Arango. Notas de Ecuaciones Diferenciales. Departamento de Matemáticas. Universidad del Valle.