Facultad de Ciencias Naturales y Exactas

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DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

 

Cálculo III (111052M) (OCT) (5 horas/semana) (4 créditos) (Prerrequisito: Cálculo II (111051M) Aprobada, Álgebra Lineal (111048M) Aprobada).

 

Objetivos Generales

  1. Establecer los conceptos fundamentales del Cálculo diferencial e integral de las funciones vectoriales y de las funciones de varias variables, las integrales de línea y de superficie.
  2. Capacitar al estudiante para manejar con destreza las técnicas propias del Cálculo en varias variables y sus aplicaciones a la resolución de problemas.

 

Contenido


1. Unidad 1: Funciones Vectoriales.

Funciones vectoriales. Operaciones algebraicas. Limites, continuidad, derivada e integral de funciones vectoriales. Vector Tangente y Normal. Vectores velocidad y aceleración. Longitud de curvas. Componentes tangencial y normal de la aceleración. Curvatura.

 

2. Unidad 2: Funciones de Varias Variables.

Campos vectoriales y campos escalares. Curvas y superficies de nivel. Superficies: cilindros, superficies de revolución, superficies cuadráticas. Limite y continuidad de campos escalares. Derivada direccional, derivadas parciales. Interpretación geométrica. Derivada total. Gradiente de un campo escalar. Regla de la cadena para campos escalares. Recta normal y plano tangente a una superficie. Derivada de campos vectoriales. Forma matricial de la regla de la cadena.

 

3. Unidad 3: Aplicaciones de las Derivadas Parciales.

Derivada de una función dada en forma implícita. Máximos y mínimos, puntos de silla. Formula de Taylor de orden dos para campos escalares. Matriz Hessiana. Criterio de la segunda deriva para extremos de funciones de dos variables. Multiplicadores de Lagrange.

 

4. Unidad 4: Integrales Múltiples.

Integrales dobles. La integral doble en coordenadas polares. Áreas, momentos y centro de masa. Integrales triples en coordenada rectangulares. Cambio de variable en una integral triple, coordenadas cilíndricas y esféricas. Masas y momentos en tres dimensiones.

 

5. Unidad 5: Integrales de Línea y de Superficie.

Integrales de línea. Trabajo, circulación y flujo como ejemplos de campos vectoriales. Independencia de trayectorias, funciones potenciales y campos conservativos. Teorema de Green en el plano. Área de superficie e integrales de superficie. Superficie parametrizada. Teorema de Stokes. El teorema de la divergencia.

 

Texto

Cálculo con Geometría Analítica, Edwards y Penney. 4ª Edición. Editorial Prentice Hall. 1996.

 

Bibliografía

  1. Cálculo y Geometría Analítica. Vol II. Sherman K. Stein, Anthony Barcellos. McGraw-Hill, 5ª Edición. 1997.
  2. Cálculo Vectorial. Marsden – Tromba. Editorial Addison- Wesley. 3ª Edicion.
  3. Cálculo con Geometría Analítica. Louis Leithold. Editorial Harla, 7ª Edición. 1998.
  4. Cálculo. Vol II, Tom Apóstol. Editorial Reverté, 2ª Edición.
  5. Cálculo de una Variable. Vol II. Thomas/Finney. Addison Wesley Longman, 9ª Edición.
  6. Cálculo. Vol II. Larson / Hostetler / Edwards. 6ª Edición . McGraw-Hill. 1999.