UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Introducción al modelamiento matemático (111002C) (3 créditos) (5 horas/semana) (Prerrequisito: Calculo I)

Objetivo

El curso introducción a la modelización matemática es una asignatura del plan común de la FCNyE ofrecida en el tercer semestre y tiene como objetivo general el introducir al alumno en el uso de herramientas matemáticas y computacionales para la construcción y el análisis sistemático de
modelos matemáticos aplicados a las ciencias. Tiene los siguientes objetivos específicos:

1. Introducir elementos básicos de programación requeridos para el desarrollo y análisis sistemático de modelos matemáticos en el computador.
2. Fundamentar la noción de modelo matemático e identificar los pasos necesarios en el proceso de su construcción y validación, desarrollando el pensamiento algorítmico del estudiante, que le permita construir modelos de fenómenos que surgen en las ciencias
   básicas.
3. Introducir al estudiante en el área de la modelización matemática a través de algunos problemas que surgen en diferentes áreas de la ciencia y la Ingeniería.

Contenido

Unidad No. 1: Introducción a algunos elementos de programación para el modelamiento matemático

Ambiente, interface, instalación. Sintaxis básica, Variables y operadores, Listas y arreglos, Manejo de librerías básicas para cálculo científico, Manejo básico de funciones y módulos, Ciclos y condicionales, Herramientas básicas para producir gráficas, Introducción a la elaboración de textos científicos mediante código LaTex. 

Unidad No. 2: Introducción al modelamiento matemático

¿Qué es un modelo matemático?, Modelo versus realidad, Propiedades de los modelos, Tipos de modelos: físicos, analógicos, matemáticos (descriptivos-analíticos, determinísticos-estocásticos, discretos-continuos, optimizables, dinámicos, de control), Pasos en la construcción de un modelo matemático, Modelos de razones, Aproximación de razones de cambio con diferencias finitas, Integrales y derivadas, Modelos usando proporcionalidad, Modelos usando ajustes, Ajustes usando gráficas, Modelos de ajuste e interpolación, Mínimos cuadrados.

Unidad No. 3: Modelos dinámicos deterministas

Modelos en ecuaciones en diferencias, Métodos cualitativos y computacionales: estudio de los modelos de crecimiento exponencial y logístico,  desarrollando la intuición en este tipo de modelos, usando elementos básicos de la teoría de sucesiones, análisis gráfico y experimentación numérica. Aplicaciones (ejemplos): elementos básicos para la construcción de algunos modelos discretos, Modelos epidemiológicos, modelos en finanzas (oferta y demanda) y sistemas de depredador-presa, Modelos en ecuaciones diferenciales (ED), Métodos cualitativos para el análisis de ED de primer orden. Estudio del modelo de crecimiento /decrecimiento exponencial y logístico usando análisis gráfico (campos de direcciones) y elementos básicos de Cálculo I. Uso de técnicas computacionales (métodos de Euler y Runge-Kutta), para simulación numérica con los modelos en ecuaciones diferenciales estudiados,Aplicaciones (ejemplos). Elementos básicos para la construcción de modelos con ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. Modelos de ED aplicados a la Física, Química, Biología y Finanzas. Osciladores como el sistema masa-resorte, péndulo, circuitos eléctricos RLC (Física), mezclas reacciones químicas (Química), sistemas de depredador-presa (Biología), y crecimiento de intereses (Finanzas), entre otros.

Unidad No. 4: Modelos estocásticos

Modelos estocásticos versus determinísticos, Ejemplo: proceso de producción (programación lineal), Situación determinista versus estocástica, Tipos de preguntas que surgen (factibilidad, objetivo, Optimización, sensibilidad), Herramientas matemáticas para los procesos estocásticos Conceptos básicos de Probabilidad, Números aleatorios (uniformes) Integración con Monte-Carlo, Números aleatorios (otras distribuciones), Método o simulación de Monte Carlo. Aplicaciones (ejemplos), Programación lineal. Proceso de producción, Teoría de colas.

Forma de evaluación

 El profesor establecerá el sistema de evaluación al iniciar el curso; a continuación, se proponen algunas instancias de evaluación sugeridas:

• Exámenes cortos
• Exámenes parciales
• Tareas y proyectos individuales
• Exposiciones sobre temas complementarios no tratados en el curso

Bibliografía recomendada

1. Notas de clase del profesor.

2. A. B. Shiflet and G. W. Shiflet, 2014, Introduction to Computational Science: Modeling and Simulation for the sciences, 2 ed, Princeton University Press.

3. E.A. Bender, 1978, An introduction to mathematical modeling, Wiley-Interscience.

4. F. R. Giordano, W. P. Fox and S. B. Horton. 2013, A First course in Mathematical Modeling, 5ed, Brooks/Cole.

5. M. Newman, 2012, Computational Physics, 1ed, CreateSpace Independent Publishing Paltform.

6. T. Oetiker, H. Partl, I. Hyna and E. Schlegl , 2018. The Not So Short Introduction to LATEX 2ε, CTAN (October 29, 2014). Se puede descargar gratuito en el enlace http://tug.ctan.org/info/lshort/english/lshort.pdf

7. M. Troyer, 2006. Computational Physics, ETH Zürich. Se puede descargar en el enlace http://www.nanophysics.pl/3books/Books/ComputationalPhysicsTroyer.pdf

8. D.G. Zill, 2012. A first course in Differential Equations with modeling applications, 10 ed, Brooks/Cole.

9. R.H. Landau, M.J. Páez and C.C. Bordeianu, 2007. Computational Physics. Problem solving with computers, 2ed, Wiley.

10. M. Meerschaert , 2013, Mathematical Modeling. 4ed, Academic Press.

Bibliografía complementaria

1. C.E. Martínez, 2009, Análisis de redes de colas modeladas con tiempos entre llegadas exponenciales e híper Erlang para la asignación eficiente de los recursos, Tesis de grado, Univ. Javeriana. 
2. I.M. Sobol, 1994, A primer for the Monte Carlo Method, 1ed, CRC Press.
3. F.S. Hillier, G.J. Lieberman, 2010, Introducción a la investigación de operaciones. 9ed, Mc Graw Hill.
4. L.C. Gómez, 2015, Modelización matemática, principios y aplicaciones, 1ed, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla.
5. S.I. Gordon, B. Guilfoos, 2017. Introduction to Modeling and simulation with MatLab and Python, 1ed, Chapman and Hall.
6. T. Williams, C. Kelley, 2017, Manual Gnuplot 5.2: An Interactive Plotting Program, 12th Media Services.