UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Introducción a la Teoría de Conjuntos (111007C) (3 créditos) (4 horas/semana) 
(Prerrequisitos: Matemática fundamental)

Descripción y objetivos

El curso de Introducción a la Teoría de Conjuntos, se ubica en el 3er semestre del Programa de Matemáticas, es una asignatura básica que exige conocimientos de matemática fundamental. Este curso presenta un primer acercamiento a la teoría axiomática de Zermelo - Fraenkel con Elección (ZFC), evidenciando el rol que ésta ha tenido como teoría fundamentadora de las matemáticas. En el curso se estudian conceptos básicos para la actividad matemática tales como: conjunto, relación (de equivalencia y de orden), función, sistemas numéricos, etc. Además, el curso presenta una introducción a conceptos y resultados propios de la teoría de conjuntos; en este sentido, se estudian los números ordinales transfinitos, números cardinales transfinitos, así como sus respectivas aritméticas.

Para el logro de lo anterior, el curso tributará a las siguientes competencias específicas (CE) y competencias genéricas (CG) de la FCNyE:

CE1: Emplear los métodos de demostración matemática para determinar la veracidad o falsedad de enunciados matemáticos a fin de aportar al desarrollo de una teoría.

CE2: Extrapolar conceptos matemáticos para contribuir al desarrollo de la matemática.

CE3: Formular, analizar y resolver problemas matemáticos en campos científicos y tecnológicos.

CG1: Actuar con honradez y responsabilidad, en relación a los trabajos, tareas, entre otras asignaciones, reconociendo su rol como científico, respetando el medio social, ambiental y la diversidad.

CG3: Trabajar en equipo en la ejecución de tareas asignadas de forma colaborativa, asumiendo su rol con liderazgo, autogestión y respeto por la opinión del otro.

CG4: Pensamiento Crítico: Analizar críticamente teorías, ideas, hipótesis, entre otros, logrando la autocrítica, así como el autoaprendizaje.

Contenido

Unidad No 1: El sistema Axiomático de Zermelo Fraenkel:

Noción de conjunto y la paradoja de Russell. Introducción a los axiomas de Zermelo-Fraenkel. Los primeros axiomas: de existencia, extensionalidad, comprensión, de pares, de unión y del conjunto potencia. Operaciones y relaciones entre conjuntos: intersección, unión, diferencia simétrica, relación de inclusión.

Unidad No2: Relaciones, Funciones, y Relaciones de Equivalencia y de Orden:

Relaciones binarias: Pares ordenados, relaciones, dominio, imagen, imagen inversa. Funciones: composición de funciones; funciones inyectivas, sobreyectivas, y biyectivas. Relaciones de Equivalencia y particiones. Órdenes: cadenas, elementos minimales y maximales, mínimos y máximos, ínfimos y supremos. Isomorfismos de órdenes

Unidad No3: Números Naturales:

Conjuntos inductivos. El Axioma de Infinito El Principio de Inducción matemática. Teoremas de Inducción. El orden en los Naturales El teorema de Recursión Aritmética de los Números Naturales. Conjuntos numerables.

Unidad No4: Sistemas Numéricos:

Números Enteros, Números racionales, Breve acercamiento a la construcción de los números reales por cortaduras de Dedekind.

Unidad No 5: Cardinalidad:

Equipotencia. El teorema de CantorBerstein. Conjuntos no numerables. La Hipótesis del Continuo.

Unidad No 6: Números Ordinales y Números Cardinales:

Conjuntos bien ordenados, conjuntos transitivos, ordinales, el axioma de reemplazo Inducción y Recursión Transfinita. Aritmética ordinal. Breve acercamiento a los números cardinales y a su aritmética. Axioma de Regularidad.

Unidad No 7: El Axioma de Elección:

El Axioma de Elección. Algunas equivalencias del Axioma de Elección: Principio del buen ordenamiento, El lema de Zorn. Breve discusión del uso del Axioma de Elección en las matemáticas. 

Metodología de enseñanza-aprendizaje

El curso se estructura con base en las distintas metodologías de los profesores que fomentan la participación del estudiante de forma activa y participativa. Para el logro del aprendizaje se realizarán cuatro horas semanales de clase magistral, donde se discutirán los contenidos más relevantes del curso y se presentarán ejemplos y ejercicios. El estudiante debe leer previamente los temas de cada sesión. Se sugiere alternar, cada tres clases magistrales, una sesión de taller en la que se discutan los ejercicios y se haga énfasis en el método matemático con más profundidad.

La metodología propenderá por el logro de la autonomía del estudiante. Se espera por tanto que haya una fuerte componente de trabajo individual, que incluya la lectura de los textos guía, así como el abordaje de los diferentes ejercicios. Se mantendrá comunicación ágil con los estudiantes a través de plataformas digitales en las cuales se compartirán materiales relacionados.

Forma de Evaluación

Se sugiere que, para cumplir con los objetivos del curso, el estudiante asistencia al menos al 80% de las clases. Congruente con la metodología propuesta, la evaluación no se debe reducir a rastrear la participación en la clase y a la revisión de seguimientos del nivel conceptual; el profesor debe estar atento a la evolución de los resultados de aprendizaje del curso, pero teniendo en cuenta que el proceso de aprendizaje no es lineal. Se trata de analizar el proceso evolutivo conceptual del estudiante en relación con su grado de compromiso. De esta forma, el estudiante debe estar informado permanentemente de sus progresos y atascamientos. La aprobación del curso tiene relación con el grado de compromiso y con la participación en las diversas actividades, tanto en clase como fuera del aula; siendo éstas: (1) La asistencia participativa. (2) Tareas y actividades en clase. (3) Exposiciones temáticas. (4) Exámenes.

Bibliografía recomendada

1. Texto guía sugerido: Introduction to Set Theory, Third Edition, Revised and Expanded.Marcel Dekker, Inc. 1999. Karel Hrbacek and Thomas Jech.
2. Teoría de Conjuntos, Universidad Central de Venezuela. Consejo de Desarrollo Científico y Humanístico, Caracas 2008. Carlos Augusto Di Prisco.
3. Introducción a la Teoría de Conjuntos, Cuarta Edición. Facultad de Ciencias, Universidad Nacional de Colombia 2012. José M. Muñoz Q.
4. Teoría de Conjuntos: una introducción, Segunda Edición. Sociedad Matemática Mexicana
   1998. Fernando Hernández.