UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Geometría Básica (111012C) (3 créditos) (5 horas/semana) 
(Prerrequisito: Matemática fundamental) (Validable/SI) (Habilitable/SI)

Descripción del curso

El curso de Geometría Básica es un curso estructurado como parte del ciclo básico del Programa Académico de Matemáticas y se ubica en el cuarto semestre. Su principal propósito es introducir al estudiante en el estudio de la geometría moderna desarrollada desde los tiempos de Euclides hasta tiempos recientes usando algunos elementos de trigonometría y del álgebra lineal. Este curso se apoyará fuertemente en la intuición que se tiene de las propiedades de la geometría euclidiana, lo cual permitirá avanzar rápidamente. Asimismo, se hará uso del álgebra como herramienta para resolver problemas geométricos. Se presentará, cuando sea necesario, la teoría, las definiciones, enunciados y demostraciones de la geometría axiomática. Definiendo la noción de punto en infinito es posible establecer una relación de incidencia simétrica entre los conceptos de punto y recta que hará posible iniciar el estudio de la geometría proyectiva como una extensión de la geometría euclidiana. Esta relación permitirá presentar los resultados de la geometría euclidiana de forma general. Esta simetría da origen al principio de dualidad el cual implica que al intercambiar las palabras punto y recta cada teorema de la geometría proyectiva genera un teorema dual.

En este curso se estudiarán, desde distintos puntos de vista, algunos teoremas clásicos tales como el teorema de Ptolomeo, de Menelao, de Ceva, de Desargues, de Feuerbach. Este curso se divide en cinco unidades de aprendizaje: Orientación, donde se presentarán los conceptos básicos de segmento dirigido, ángulo dirigido y punto al infinito; Semejanza y aplicaciones, donde se introducirán la noción de polígonos semejantes y se demostrarán los teoremas clásicos de Ptolomeo, Ceva, Menelao y Desargues; Puntos y líneas armónicas, donde se estudiarán la división armónica, el principio de dualidad y las propiedades armónicas de cuadrángulos y cuadriláteros; El triángulo, donde se definirán algunos puntos y circunferencias asociadas a un triángulo y se analizarán tanto la línea de Simson como la circunferencia de los nueve puntos; y Circunferencias, donde se desarrollarán los conceptos de potencia de un punto, circunferencias coaxiales, inversión y se terminará con la demostración del Teorema de Feuerbach. Al finalizar el curso, el estudiante tendrá una visión de la geometría que incluye la geometría proyectiva, la cual es una extensión de la geometría euclidiana donde los conceptos de punto y recta tienen una relación de incidencia simétrica; dicha relación le permitirá al estudiante comprender los resultados de la geometría euclidiana de una forma más general. 

Para el logro de lo anterior el curso tributa a las siguientes competencias específicas (CE) y competencias genéricas (CG):

CE1. Emplear los métodos de demostración matemática para determinar la veracidad o falsedad de enunciados matemáticos a fin de aportar al desarrollo de una teoría.

CG. Pensamiento crítico. Analizar críticamente ideas, opiniones, hipótesis y razonamientos, tanto ajenos como propios, logrando la autocrítica y el autoaprendizaje.

Contenido

Unidad No.1: Orientación:

Segmentos y ángulos dirigidos, Puntos al infinito.

Unidad No.2: Semejanza y aplicaciones:

Figuras semejantes y homotéticas. Líneas anti paralelas. Teorema de Ptolomeo.

Unidad No.3: Puntos y líneas armónicas:

División armónica y líneas armónicas. Cuadrángulos completos y cuadriláteros completos. Principio de dualidad y aplicaciones.

Unidad No.4: El triángulo:

Puntos importantes asociados. Triángulo pedal, incírculo y excírculos. La circunferencia de los nueve puntos y la línea de Simson.

Unidad No.5: Circunferencias:

Potencia de un punto, eje radical y propiedades. Circunferencias coaxiales y aplicaciones. Inversión respecto a una circunferencia. Teorema de Feuerbach.

Metodología de enseñanza-aprendizaje

Las estrategias de enseñanza propuestas para este curso son:

• Clase magistral, donde se busca que el estudiante logre el aprendizaje a través de la comunicación oral de los diferentes conceptos a desarrollar en el curso y sus posibles aplicaciones. Las clases contemplan los tres momentos inicio-desarrollo-cierre de la sesión de clases.
• Talleres, espacios donde los estudiantes realizan algunas actividades diseñadas con el fin de desarrollar habilidades sobre conocimientos adquiridos y/o construir nuevo conocimiento.
• Resolución de problemas, basada en la presentación de ejercicios, problemas de la geometría, donde el estudiante ejercita y pone en práctica su conocimiento, reflexionando acerca de la utilidad de los contenidos teóricos presentados en el curso.

Formas de evaluación

Se sugiere realizar la evaluación a través de diferentes actividades tales como: exámenes parciales, pruebas cortas (quices), trabajo colaborativo en clase, tareas personales y/o grupales, presentaciones de algunos tópicos especiales, entre otras.

Bibliografía obligatoria

Shively, L.S., Introducción a la Geometría Moderna. Editorial Continental, México, 1984.

Bibliografía recomendada

1. Ramirez, A., Geometría moderna. CIMAT, Guanajuato, 2008.
2. Pedoe, D., Geometry: a comprehensive course, Dover, New York, 1988.
3. Coxeter, H.S.M., Fundamentos de geometría. Editorial Limusa, México, 1971.
4. Rincón, G., Un recorrido por la geometría. Universidad Antonio Nariño, Bogotá, 1994.