UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Ecuaciones diferenciales (111011C) (3 créditos) (5 horas/semana) 
(Prerrequisito: Cálculo II, Algebra lineal) (Validable/SI) (Habilitable/SI)

Objetivos

El curso de Ecuaciones diferenciales es un curso básico, diseñado para estudiantes de cuarto semestre del programa académico de Matemáticas. El curso se centra en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias como uno de los principales instrumentos matemáticos empleados en la modelización de fenómenos naturales, incluyendo por ejemplo la determinación de la antigüedad de un fósil, la modelización de la difusión de una epidemia y el estudio de problemas de mecánica, como la caída de un cuerpo en un medio resistivo o el comportamiento de un oscilador mecánico. El énfasis del curso está en los modelos lineales, aunque ocasionalmente se estudian también ecuaciones no lineales.

La primera parte del curso se dedica al estudio de las ecuaciones de primer orden, incluyendo el teorema de existencia y unicidad de Picard-Lindelöf, las técnicas clásicas de solución y algunos métodos cualitativos, así como algunas aplicaciones elementales. En la segunda parte se discuten las ecuaciones lineales de segundo orden, abarcando la estructura general de las soluciones, y la determinación explícita de la solución general en algunos casos, para finalmente discutir soluciones en términos de series de potencias, incluyendo el método de Frobenius. En la tercera parte del curso se aborda el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, homogéneos y no homogéneos, apelando a métodos matriciales y haciendo énfasis en cómo el estudio de sistemas de ecuaciones generaliza y facilita el de ecuaciones lineales de cualquier orden, y es de gran utilidad como punto de partida para la investigación de ecuaciones no lineales.

El curso tributa a las siguientes competencias genéricas (CG) y específicas (CE) definidas para el programa académico de Matemáticas:

CG5. Resolver problemas, diseñando soluciones a problemas simples, propios de las ciencias naturales y exactas, mediante el uso de herramientas teóricas, experimentales y tecnológicas o computacionales, considerando criterio de sustentabilidad.

CE2. Extrapolar conceptos matemáticos para contribuir al desarrollo de la matemática.

CE3. Formular, analizar y resolver problemas matemáticos en campos científicos y tecnológicos.

CE4. Modelar matemáticamente, de forma teórica como computacional, problemas de diversas disciplinas, es decir, traducir la realidad del problema a una estructura matemática formal para realizar su análisis.

Contenido

Unidad No.1: Modelos matemáticos y ecuaciones diferenciales:

Sistemas dinámicos, las ecuaciones diferenciales ordinarias como herramientas de modelización matemática, la ley de Malthus para crecimiento de poblaciones, modelo para la caída de cuerpos bajo la acción de una fuerza de amortiguación viscosa. Ecuaciones diferenciales ordinarias, el concepto de solución de una ecuación diferencial ordinaria. Teorema Fundamental de soluciones para ecuaciones de primer orden, problemas de valor inicial (pvi), intervalo de definición de una solución de un problema de valor inicial. Campo de direcciones asociado a una ecuación diferencial de primer orden.

Unidad No.2: Métodos de solución para ecuaciones de primer orden:

Separación de variables, uso de integrales definidas para resolver problemas de valor inicial asociados a ecuaciones de variables separables. Ecuaciones lineales, factor integrante de una ecuación lineal, solución general y soluciones de problemas de valor inicial. Ecuaciones exactas, criterios para distinguir ecuaciones exactas, soluciones definidas implícitamente, factores integrantes. Cambios de variables (ecuaciones de Bernoulli, ecuaciones homogéneas, ecuaciones de segundo orden que se pueden reducir a primer orden).

Unidad No.3: Aplicaciones de las ecuaciones de primer orden:

Procesos de crecimiento y declinación, ley de crecimiento exponencial, crecimiento de poblaciones, desintegración radioactiva. Ley de Newton de enfriamiento. Problemas de mezclas, el modelo del tanque, aplicaciones. Modelos para la caída de cuerpos bajo la acción de la gravedad en un medio resistivo, ley de amortiguación viscosa, fuerzas de amortiguación cuadráticas, fuerza arquimediana de, caídas baja la acción de un campo gravitatorio teniendo en cuenta su dependencia de la distancia entre los cuerpos. Trayectorias ortogonales y otros problemas geométricos.

Unidad No.4: Métodos cualitativos y numéricos para ecuaciones de primer orden:

Ecuaciones autónomas de primer orden, soluciones de equilibrio, estabilidad de las soluciones de equilibrio, intervalo maximal de definición de una solución, retratos de fase. Aplicaciones de los métodos cualitativos: la ecuación de Verhulst y otros ejemplos. El método de Euler para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden.

Unidad No.5: Ecuaciones lineales de segundo orden:

Teorema de existencia y unicidad de soluciones para ecuaciones lineales de segundo orden. Ecuaciones homogéneas: principio de superposición, conjuntos fundamentales de soluciones, independencia lineal de funciones, el determinante wronskiano asociado a un conjunto de funciones, el método de reducción de orden, soluciones complejas de ecuaciones con coeficientes reales. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes: el método de la ecuación característica. Ecuaciones lineales no homogéneas: principios de superposición, el método de variación de parámetros, el método de los coeficientes indeterminados.

Unidad No.6: Osciladores lineales:

Modelación matemática de un oscilador: la ley de Hooke, fuerzas de restitución, sistemas masa- resorte- amortiguador, péndulos lineales. Osciladores libres: la ecuación de un oscilador armónico, oscilaciones libres no amortiguadas, oscilaciones libres amortiguadas. Osciladores forzados: fuerzas armónicas, resonancia.

Unidad No.7: Soluciones en términos de series de potencias:

Soluciones en torno a puntos ordinarios: funciones analíticas en un punto, puntos ordinarios de una ecuación diferencial lineal de segundo orden, teorema de existencia de soluciones analíticas alrededor de un punto ordinario. Soluciones en torno a puntos singulares regulares: puntos singulares y puntos singulares regulares de una ecuación lineal de segundo orden, teorema de existencia de soluciones alrededor de puntos singulares regulares (método de Frobenius). La ecuación de Bessel y otras ecuaciones de la matemática-física: solución de la ecuación de Bessel en términos de series de potencias, la función gamma de Euler, funciones de Bessel de primera y de segunda especie.

Unidad No.8: Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden:

Sistemas de ecuaciones lineales: teorema fundamental de existencia y unicidad de soluciones para problemas de valores iniciales asociados a sistemas de ecuaciones de primer orden, reducción de una ecuación, o de un sistema de ecuaciones diferenciales, a un sistema de ecuaciones de primer orden, ejemplos de sistemas de ecuaciones. Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden: teorema fundamental de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, sistemas homogéneos, principio de superposición para sistemas homogéneos, principio de superposición y conjuntos fundamentales de soluciones, determinante wronskiano asociado a un conjunto de funciones vectoriales, sistemas no homogéneos, principios de superposición para sistemas no homogéneos. Sistemas homogéneos con coeficientes constantes: vectores propios y soluciones, la exponencial de una matriz, vectores propios generalizados, el teorema de la descomposición primaria, conjuntos fundamentales de soluciones, matriz fundamental. Sistemas no homogéneos de ecuaciones lineales: solución general de un sistema no homogéneo, obtención de soluciones particulares mediante el método de los coeficientes indeterminados y mediante el método de variación de parámetros.

Metodología de enseñanza-aprendizaje

El curso se desarrollará a través de clases magistrales donde se expondrán los aspectos más relevantes de la teoría y se presentarán ejemplos y ejercicios para ilustrarla. Algunas de las clases se emplearán para enfatizar en estrategias de solución de problemas, con la participación activa de los estudiantes. La metodología propenderá por el logro de la autonomía del estudiante. Se espera por lo tanto que haya un fuerte componente de trabajo individual, que incluya la lectura del libro de texto y la aplicación a la solución de ejercicios y problemas. Teniendo en cuenta que existen videos en YouTube (https://www.youtube.com/c/ecuacionesdiferencialesuniversidaddelvalle) donde se desarrolla una buena parte de los temas del curso, puede emplearse la estrategia del aula invertida, y emplear las sesiones de clase para resolver dudas y discutir problemas. El curso estará activo en Moodle (o en una plataforma equivalente), y a través de este medio se publicará la información asociada al curso y se pondrán materiales adicionales (guías de trabajo, tutoriales y videos, entre otros) a disposición de los estudiantes. A través de foros y otras actividades propias de Moodle, se buscará mantener una comunicación ágil con los estudiantes.

Formas de evaluación

Instancias de evaluación: proponemos entre otras las siguientes instancias de evaluación: Ponderación sugerida:

1. Dos exámenes parciales (con su correspondiente examen opcional), cada uno con una ponderación sugerida del 40%; en total 80%
2. Tareas en las que se explorará entre otras cosas el empleo de software matemático aplicado a los temas del curso (sugerimos que se propongan alrededor de dos tareas a lo largo del semestre). 20%

Bibliografía obligatoria

G. Calderón, J. Arango y A. Gómez, Ecuaciones diferenciales para estudiantes de ciencias e ingenierías, Programa Editorial, Universidad del Valle, Cali, 2018 (3a reimpresión)

Bibliografía recomendada

1. P. Blanchard, R.L. Devaney y G.R. Hall, Ecuaciones diferenciales, Thomsom, México, 1999.
2. W.E. Boyce y R.C. DiPrima, Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, 4a ed. Limusa-Wiley, México, 2005.
3. M. Braun, Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones. Grupo Editorial Ibero-americano, México, 1990.
4. G.F. Simmons, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas, 2a ed, MacGraw- Hill, México, 1993.
5. G.F. Simmons, Ecuaciones diferenciales: teoría, técnica y práctica, MacGraw Hill, España,2007.
6. W.F. Trench, Elementary Differential Equations (2013), Faculty Authored and Edited Books & CDs. 8 https://digitalcommons.trinity.edu/mono/8
7. D.G. Zill, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, Cengage Learning, 11a ed, 2017.
8. Canal de YouTube Ecuaciones diferenciales Universidad del Valle https://www.youtube.com/c/ecuacionesdiferencialesuniversidaddelvalle