UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Cálculo III (111016C) (3 créditos) (5 horas/semana) 
(Prerrequisito: Cálculo II, Algebra lineal) (Validable/SI) (Habilitable/SI)

Objetivos

El curso de Cálculo III pertenece a la línea del cálculo y es la continuación de los cursos de Cálculo I y Cálculo II y se ubica en el cuarto semestre del programa de Matemáticas. En él se extienden las nociones de límite, derivación e integración al caso de las funciones vectoriales y de los campos escalares y vectoriales.

En particular en este curso se estudia el concepto de derivada parcial, así como el de gradiente, se dan criterios de diferenciabilidad para funciones de varias variables resaltando las diferencias con el caso univariable y se presentan aplicaciones a problemas de optimización, incluyendo el método de los multiplicadores de LaGrange.

A continuación, en el curso se presenta el concepto de integración sobre regiones del plano y del espacio, así como sobre curvas y superficies, y se abordan su cálculo y algunas de sus aplicaciones para finalmente estudiar los teoremas clásicos del cálculo vectorial (Green, Gauss y Stokes) presentando algunas de sus interpretaciones físicas.

Este curso tributa a las siguientes competencias específicas (CE) y competencias genéricas (CG) del perfil del Programa Académico de Matemáticas.

CE2 Extrapolar conceptos matemáticos para contribuir al desarrollo de la matemática.

CE3 Formular, analizar y resolver problemas matemáticos en campos científicos y tecnológicos.

CG5 Resolver problemas, diseñando soluciones a problemas simples, propios de las ciencias naturales y exactas, mediante el uso de herramientas teóricas, experimentales y tecnológicas o computacionales, considerando criterio de sustentabilidad.

Contenido

Unidad No.1: Funciones vectoriales y curvas paramétricas:

Funciones vectoriales y curvas paramétricas. Empleo de herramientas de software matemático para trazar gráficas de curvas paramétricas. Derivadas e integrales de funciones vectoriales, los vectores tangentes unitarios y normal principal. Función longitud de arco y parametrización por longitud de arco, curvatura de una curva en un punto. Movimiento en el espacio: velocidad y aceleración.

Unidad No.2: Funciones de varias variables (campos escalares):

Gráficas de ecuaciones en tres variables: cilindros y superficies cuádricas, empleo de herramientas de software matemático para bosquejar gráficas de ecuaciones en el espacio. Funciones de varias variables, definición y ejemplos, trazas, curvas de nivel, gráfica de una función de varias variables. Límites y continuidad de una función de varias variables en un punto. Derivadas parciales, derivadas de primer orden y de órdenes superiores, el teorema de Clairaut (igualdad de derivadas parciales mixtas). Planos tangentes a gráficas de funciones de dos variables, aproximaciones lineales, diferenciabilidad en un punto, condiciones suficientes de diferenciabilidad, continuidad y diferenciabilidad. Regla de la cadena, diagramas de árbol. Derivadas direccionales y el vector gradiente. Forma vectorial de la regla de la cadena, interpretación geométrica del vector gradiente, planos tangentes a superficies de nivel. Valores máximos y mínimos de funciones de varias variables. Puntos críticos, puntos silla, valores extremos en regiones cerradas y acotadas, el criterio de la segunda derivada. Multiplicadores de LaGrange. Interpretación geométrica. El método de los multiplicadores de LaGrange con una y dos restricciones.

Unidad No.3: Integrales Múltiples:

Integrales dobles sobre rectángulos. Integrales iteradas y el teorema de Fubini. Integrales dobles sobre regiones generales: regiones verticalmente simples, regiones horizontalmente simples, regiones más generales. Integrales dobles en coordenadas polares. Fórmula de cambio de variables. Integrales sobre rectángulos polares, integrales sobre regiones radialmente simples. Algunas aplicaciones de las integrales dobles: por ejemplo masa de una placa plana, momentos de masa y de inercia de una placa plana, centroides y centro de gravedad. Integrales triples: integrales triples sobre cajas cartesianas, integrales triples sobre regiones simples (tipos I, II y III), uso de herramientas de software matemático para calcular integrales triples. Integrales triples en coordenadas cilíndricas: coordenadas cilíndricas, relación con las coordenadas cartesianas, ecuaciones de superficies en coordenadas cilíndricas, el volumen de una caja cilíndrica, la fórmula de cambio de coordenadas para calcular integrales triples empleando coordenadas cilíndricas. Integrales triples en coordenadas esféricas: coordenadas esféricas, relación con las coordenadas cartesianas, ecuaciones de superficies en coordenadas esféricas, el volumen de una caja esférica, la fórmula de cambio de coordenadas para calcular integrales triples empleando coordenadas esféricas. Cambios de variables generales en integrales múltiples.

Unidad No.4: Campos vectoriales:

Campos vectoriales: ejemplos, interpretación geométrica, campos gradiente, empleo de herramientas de software matemático para bosquejar campos vectoriales en el plano y en el espacio. Integrales de línea de campos escalares e integrales de línea de campos vectoriales. 3. El teorema fundamental de las integrales de línea, campos conservativos, funciones potenciales, independencia de las integrales respecto de la trayectoria, regiones simplemente conexas en el plano. El teorema de Green. El rotacional y la divergencia de un campo vectorial, forma vectorial del teorema de Green. Integrales de superficie: superficies paramétricas, área de una superficie paramétrica, superficies orientables, integrales de superficie de campos vectoriales y de campos escalares. Los teoremas fundamentales del cálculo vectorial: el teorema de Stokes y el teorema de Gauss (o teorema de la divergencia).

Forma de evaluación

Se sugiere realizar la evaluación a través de diferentes actividades tales como: Ponderación

1. Tres evaluaciones parciales, aproximadamente en las semanas 4, 8 y 12, una de las cuales puede ser opcional (en ese caso para efectos de calcular la nota definitiva solo se tomarán en cuenta las dos mejores calificaciones parciales) 50%
2. Examen final (con opcional correspondiente) 40%
3. Tareas en las que se insistirá entre otras cosas en el empleo de software matemático aplicado a los temas del curso (sugerimos que se propongan alrededor de dos tareas a lo largo del semestre) 10%

Metodología de enseñanza-aprendizaje

El curso se desarrollará a través de clases magistrales donde se expondrán los aspectos más relevantes de la teoría y se presentarán ejemplos y ejercicios para ilustrarla. Algunas de las clases se emplearán para enfatizar en estrategias de solución de problemas, con la participación activa de los estudiantes. También se programarán sesiones de clase dedicadas al empleo de herramientas de software matemático, en relación con los temas del curso. Se espera usar entre otros los programas Mathematica o Matlab, de los cuales la Universidad ha venido adquiriendo licencia, así como programas gratuitos como Geogebra. La metodología propenderá por el logro de la autonomía del estudiante. Se espera por lo tanto que haya un fuerte componente de trabajo individual, que incluya la lectura del libro de texto y la aplicación a la solución de ejercicios y problemas.

Texto guía

James Stewart, Cálculo de varias variables, trascendentes tempranas, Cengage Learning, 8a edición, 2018.

Bibliografía recomendada

1. T. Apostol, Calculus Vol. II (Cálculo con funciones de varias variables y álgebra lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades), Ed. Reverté, 2a edición, 1999.
2. R. Larson, R.P. Hostetler, B.H. Edwards, Cálculo y Geometría Analítica, Vol. II, McGraw Hill, 9a edición, 1999.
3. P. Lax, M.S. Terrell, Multivariable Calculus With Applications (en inglés), Ed. Springer, 2017. 
4. J. Marsden, A. Tromba, Cálculo Vectorial, Pearson Addison-Wesley, 5a edición, 2004
5. OpenStax College (2016) Calculus, Volume III (Senior Contributing Authors: G. Strang, E. Herman) (en inglés) Recuperado el 22 de marzo de 2020
6. G. Strang, Calculus, Wellesley-Cambridge Press, 1991 (en inglés). 7. G.B. Thomas Jr, Thomas Cálculo, varias variables, Pearson Addison Wesley, 12a edición, 2010.