UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Cálculo II (111014C) (3 créditos) (5 horas/semana) 
(Prerrequisitos: Cálculo I) (Validable/SI) (Habilitable/SI)

Descripción del curso

Este curso está dirigido a los estudiantes del programa de Matemáticas y se ubica en el tercer semestre de ese programa. El propósito del curso es completar la exposición de las ideas fundamentales del cálculo de funciones de una variable iniciada en Cálculo I, y mostrar cómo estas funciones pueden representarse en términos de series de potencias. Hacia el final del curso de Cálculo I se debe haber estudiado ya el teorema fundamental del cálculo, por lo que Cálculo II se inicia presentando algunas aplicaciones de la integral, destacando cómo el concepto de integral permite la generalización de nociones introducidas de manera elemental, mediante el principio de “dividir, aproximar e integrar”. Se discuten así mismo algunas de las principales técnicas de integración y el uso de software matemático para el cálculo simbólico y numérico de integrales. Posteriormente se introducen las nociones de sucesiones y series de números reales, para finalizar tratando el tema de series de potencias, enfatizando en cómo estas constituyen una poderosa herramienta que permite representar, definir y manipular funciones de una variable. Este curso tributa a las siguientes competencias específicas (CE) y competencias genéricas (CG) del perfil de egreso del Programa Académico de Matemáticas.

CE3: Formular, analizar y resolver problemas matemáticos en campos científicos y tecnológicos.

CG5: Resolver problemas, diseñando soluciones a problemas simples, propios de las ciencias naturales y exactas, mediante el uso de herramientas teóricas, experimentales y tecnológicas o computacionales, considerando criterio de sustentabilidad.

Contenido

Unidad No.1: Aplicaciones de la integral:

Áreas entre curvas, Volúmenes de sólidos: el método de las secciones transversales y el método de los cascarones cilíndricos, Trabajo hecho por una fuerza, El valor promedio de una función y el teorema del valor medio para integrales, Definición de la función logaritmo en términos de integrales, Definición de la función exponencial como inversa de la función logaritmo. 

Unidad No.2: Técnicas de integración:

Integración por partes, Integrales de funciones trigonométricas, Integración de funciones racionales (fracciones parciales), Sustituciones trigonométricas, Estrategias de integración y empleo de herramientas de software matemático para el cálculo de integrales, Integrales impropias.

Unidad No.3: Curvas paramétricas, coordenadas polares y otras aplicaciones de la integral.

Longitud de una curva plana, Área de una superficie de revolución Coordenadas polares (repaso), longitud de curvas y áreas de regiones empleando coordenadas polares, Curvas paramétricas, (Opcional) Aplicaciones adicionales a la física.

Unidad No.4: Sucesiones y series:

Sucesiones de números reales: sucesiones convergentes y sus propiedades, teorema del emparedado, sucesiones monótonas y acotadas, sucesiones definidas recursivamente. Series infinitas de números reales: convergencia, la serie geométrica, series telescópicas, la serie armónica, el criterio del término enésimo. Criterios de convergencia: criterio de la integral, la serie p, criterios de comparación, series alternantes (el criterio de Leibniz), convergencia absoluta y condicional, criterios de la razón y de la raíz.

Unidad No.5: Series de potencias:

Series de potencias: definición, radio de convergencia, representación de una función como una serie de potencias, derivación e integración de series de potencias, Serie de Taylor y serie de Mclaurin: polinomios de Taylor, el teorema de Taylor, desarrollo de funciones en términos de series de Taylor.

Metodología de enseñanza-aprendizaje

El curso se desarrollará a través de clases magistrales donde se expondrán los aspectos más relevantes de la teoría y se presentarán ejemplos y ejercicios para ilustrarla. Algunas de las clases se emplearán para enfatizar en estrategias de solución de problemas, con la participación activa de los estudiantes. También se programarán sesiones de clase dedicadas al empleo de herramientas de software matemático, en relación con los temas del curso.

La metodología propenderá por el logro de la autonomía del estudiante. Se espera por lo tanto que haya un fuerte componente de trabajo individual, que incluya la lectura del libro de texto y la aplicación a la solución de ejercicios y problemas.

El curso estará activo en Moodle (o en una plataforma equivalente), y a través de este medio se publicará la información asociada al curso y se pondrán materiales adicionales (guías de trabajo, tutoriales y videos, entre otros) a disposición de los estudiantes. A través de foros y otras actividades propias de Moodle, se buscará mantener una comunicación ágil con los estudiantes.

Forma de evaluación

Se sugiere realizar la evaluación a través de diferentes actividades tales como:

• Tres evaluaciones parciales, aproximadamente en las semanas 4, 8 y 12, una de las cuales puede ser opcional (para efectos de calcular la nota definitiva solo se tomarán en cuenta las dos mejores calificaciones parciales). Con una ponderación de un 50%
• Examen final: Con una ponderación de un 40% (con opcional correspondiente)
• Tareas relacionadas con el empleo de software matemático aplicado a los temas del curso (se planificarán alrededor de dos tareas a lo largo el semestre). Con una ponderación de un 10%

Texto guía

James Stewart (2014) Cálculo de una variable, trascendentes tempranas, Cengage Learning, 7a edición. https://archive.org/hdetails/CalculoDeUnaVariableJamesStewartSeptimaEdicion/page/n9 /mode/2up

Bibliografía recomendada

1. T. Apostol (1990) Cálculo con funciones de una variable con una introducción al álgebra lineal, Vol. I, Ed. Reverté, 2a edición. https://archive.org/details/TomApostolCalculoVol1/page/n5/mode/2up
2. R. Larson, R.P. Hostetler, B.H. Edwards (1999) Cálculo y Geometría Analítica, Vol. I, McGraw Hill, 6a edición. https://archive.org/details/CalculoVol.1LarsonHostetler/mode/2up 
3. P. Lax, M.S. Terrell, Calculus With Applications (en inglés), Ed. Springer, 2a edición (2014) 
4. OpenStax College (2016) Calculus, Volume II (Senior Contributing Authors: G. Strang, E. Herman) (en inglés) Recuperado el 24 de septiembre de 2020 de https://openstax.org/details/books/calculus-volume-2 
5. M. Spivak, Cálculo infinitesimal, Ed Reverté, 3a edición (2012) http://valle.fciencias.unam.mx/licenciatura/bibliografia/spivak.pdf 
6. https://archive.org/details/CalculoInfitesimalMichaelSpivak/page/n3/mode/2up 
7. G. Strang, Calculus, Wellesley-Cambridge Press, (1991) (en inglés) https://archive.org/details/Calculus_201701/mode/2up 
8. http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/Edited/Calculus/Calculus.pdf 
9. G.B. Thomas Jr, Thomas Cálculo de una variable, Pearson Addison Wesley, 11a edición (2006) https://archive.org/details/calculo-una-variable-11vo-edicic3b3n-george- bthomas/page/n5/mode/2up
10. D. Zill, W. S. Wright, Cálculo Trascendentes tempranas, McGraw Hill, 4a edición (2011) https://archive.org/details/calculo-trascendentes-tempranas-zilL 4th_201801/page/n9/mode/2up

*En la bibliografía se hace referencia a la edición que se encuentra disponible a través de páginas de acceso público (principalmente https://archive.org/). Sin embargo, de la mayoría de estos textos existen ediciones más recientes que las aquí citadas.