UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Cálculo I (111013C) (CIENCIAS) (3 créditos) (5 horas/semana) 
(Prerrequisito: Matemática fundamental) (Validable/SI) (Habilitable/SI)

Descripción del curso

El curso de Cálculo I hace parte del ciclo común que se imparte a los estudiantes de los programas académicos profesionales adscritos a la facultad de Ciencias Naturales y Exactas de la Universidad del Valle, y se ubica en el segundo semestre de este ciclo. Su principal propósito es lograr que los estudiantes identifiquen y apliquen los conceptos y técnicas básicos del Cálculo Diferencial de funciones de una variable, incluyendo la noción de integral y el teorema fundamental del cálculo. Cabe señalar que el cálculo es una de las herramientas matemáticas más eficaces para describir la naturaleza. En los pilares del cálculo descansan los desarrollos científicos que llevaron a la industrialización de Europa durante el siglo XVIII y en últimas, a la sociedad del conocimiento en la que vivimos. El concepto de límite que está en la base de todos los desarrollos del cálculo es un lenguaje eficaz que permite abordar nociones indispensables para la ciencia, como puede ser la de velocidad instantánea (y más en general la de razón de cambio), o la área de una región plana, posibilitando resolver, por ejemplo, problemas de optimización tanto prácticos como teóricos.

Este curso tributa a las siguientes competencias específicas (CE) y competencia genéricas (CG) del perfil intermedio del ciclo común.

CE1. Matemáticas. Interpretar y utilizar el lenguaje matemático fundamental en el contexto de las ciencias naturales.

CG2. Solución de problemas. Contribuir a la solución de problemas científicos simples, desde un punto de vista interdisciplinario y utilizando herramientas matemáticas, computacionales y tecnológicas.

Contenido

Unidad No. 1: Límites y continuidad de funciones de una variable:

Recta tangente a una curva y velocidad de un objeto que se mueve en línea recta. Límite de una función en un punto y sus propiedades. Límites de funciones polinómicas y trascendentes elementales. El teorema del emparedado, límites laterales, el límite trigonométrico básico y otros límites especiales. Limites infinitos y límites al infinito. Continuidad de funciones, continuidad en intervalos cerrados y acotados, el teorema del valor intermedio. 

Unidad No. 2: La derivada de una función en un punto:

Pendiente de la recta tangente a una curva en un punto y razón de cambio de una función. Definición de derivada en un punto. Interpretación de la derivada en términos de pendientes y de velocidades. Reglas de derivación, derivadas de funciones polinomiales y de funciones trascendentes, derivadas de orden superior. La regla de la cadena y derivación implícita. La aproximación lineal de una función en un punto. Empleo de software matemático para el cálculo de derivadas.

Unidad No. 3: Aplicaciones de las derivadas:

Razones relacionadas. Máximos y mínimos de funciones: el teorema de Fermat (teorema del extremo interior), el teorema de los valores extremos, el teorema del valor medio, extremos de funciones en intervalos cerrados y acotados. Trazado de gráficas de funciones empleando los criterios de la primera y de la segunda derivada. Empleo de software matemático para el trazado de gráficas. Problemas de máximos y mínimos. Formas indeterminadas y la regla de L’Hopital.

Unidad No. 4: Integración de funciones de una variable:

Anti derivadas de funciones de una variable. El problema de calcular áreas bajo curvas. Integral definida de una función en un intervalo, definición en términos de sumas de Riemann. El teorema fundamental del cálculo. Cambios de variables para calcular integrales definidas e indefinidas.

Metodología de enseñanza-aprendizaje

Para el logro del aprendizaje se realizarán tres horas semanales de clase magistral, donde se discutirán los contenidos más relevantes del curso y se presentarán ejemplos y ejercicios. Adicionalmente habrá dos horas semanales de clase donde los estudiantes estarán distribuidos en grupos pequeños y trabajarán tanto en la resolución de ejercicios como en la profundización de aspectos de la teoría introducidos en la clase magistral, siguiendo un sistema de tutorías entregadas por el profesor. Dentro del desarrollo del curso el estudiante tendrá la posibilidad de plantear dudas y proponer ejercicios.

Para el desarrollo del aprendizaje en cada una de las unidades comprometidas se dispondrá de al menos una sesión de clase, idealmente impartida en una sala de cómputo, donde se enfatizará en el empleo de programas de software matemático, en relación con los temas tratados en la unidad. Habrá apoyo de monitores, a los cuales podrán recurrir los estudiantes para solucionar dudas surgidas en torno al uso de software.

La metodología propenderá por el logro de la autonomía del estudiante. Se espera por lo tanto que haya un fuerte componente de trabajo individual, que incluya la lectura del libro de texto y la aplicación a la solución de ejercicios y problemas. El curso estará activo en Moodle (o en una plataforma equivalente), y a través de este medio se publicará la información asociada al curso y se pondrán materiales adicionales (guías de trabajo, tutoriales y videos, entre otros) a disposición de los estudiantes. A través de foros y otras actividades propias de Moodle, se buscará mantener una comunicación ágil con los estudiantes.

Estrategía de evaluación

El curso tendrá distintas instancias de evaluación del aprendizaje:

• Tres evaluaciones parciales, aproximadamente en las semanas 4, 8 y 12, una de las cuales puede ser opcional (para efectos de calcular la nota definitiva solo se tomarán en cuenta las dos mejores calificaciones parciales): 40% 
• Examen final (con posibilidad de presentar examen opcional): 40% 
• Tareas en las que se enfatizará el empleo de software matemático aplicado a los temas del curso (se propondrán alrededor de dos tareas a lo largo del semestre): 20%

Texto guía

James Stewart, Cálculo de una variable, trascendente temprana, Cengage Learning, 7a edición (2014) https://archive.org/details/CalculoDeUnaVariableJamesStewartSeptimaEdicion/page/n9/mode/2up

Bibliografía recomendada

1. T. Apostol, Cálculo con funciones de una variable con una introducción al álgebra lineal, Vol I, Ed. Reverté, 2a edición (1999) https://archive.org/details/TomApostolCalculoVol1/page/n5/mode/2up
2. R. Larson, R.P. Hostetler, B.H. Edwards, Cálculo y Geometría Analítica, Vol I, McGraw Hill, 6a edición (1999) https://archive.org/details/CalculoVol.1LarsonHostetler/mode/2up 
3. P. Lax, M.S. Terrell, Calculus With Applications (en inglés), Ed. Springer, 2a edición (2014) https://link-springer-com.bd.univalle.edu.co/content/pdf/10.1007%2F978-1-4614-7946- 8.pdf
4. OpenStax College (2016) Calculus, Volume I (Senior Contributing Authors: G. Strang, E. Herman) Recuperado el 22 de marzo de 2020 de https://openstax.org/details/books/calculus-volume-1?Book%20details 
5. G. Strang, Calculus, Wellesley-Cambridge Press, (1991) (en inglés) https://archive.org/details/Calculus_201701/mode/2up http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/Edited/Calculus/Calculus.pdf 
6. G.B. Thomas Jr, Thomas Cálculo de una variable, Pearson Addison Wesley, 11a edición (2006) https://archive.org/details/calculo-una-variable-11vo-edicic3b3n-george-b- thomas/page/n5/mode /2up 
7. D. Zill, W. S. Wright, Cálculo Trascendentes tempranas, McGraw Hill, 4a edición (2011) https://archive.org/details/calculo-trascendentes-tempranas-zill- 4th_201801/page/n9/mode/2up
8. Colectivo de profesores, Cálculo I, Notas de clase, publicación del Departamento de Matemáticas, Universidad del Valle.