UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Álgebra Lineal (111006C) (3 créditos) (5 horas/semana) (Prerrequisito: Cálculo I (111050M) (Cursado))

Objetivo

Presentar los conceptos fundamentales del álgebra vectorial y algunas aplicaciones a la geometría analítica. Proporcionar una clara comprensión y manejo de los conceptos básicos del álgebra lineal como: matrices, espacios vectoriales, transformaciones lineales, valores y vectores propios. Mostrar la relación entre los conceptos básicos del álgebra lineal y la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Mostrar, mediante ejercicios y lecturas complementarias la importancia del conocimiento básico del álgebra lineal en otras disciplinas.

Contenido

Vectores. (3 semanas):

Vectores libres, operaciones con vectores, vectores y coordenadas, longitud de un vector, cosenos directores. Componentes de un vector, producto escalar de vectores, el vector proyección y la proyección escalar de un vector sobre otro. Producto vectorial. Ortogonalidad. Rectas y planos en el espacio.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales. (4 Semanas):

Matrices, álgebra de matrices, matrices especiales (diagonal, idéntica, nula, idempotente, nilpotente, inversa, traspuesta, simétrica, antisimétrica, ortogonal, conjugada, hermítica) y sus propiedades. Sistemas de ecuaciones lineales, sistemas equivalentes, matriz asociada al sistema de ecuaciones lineales, eliminación de Gauss y de Gauss Jordan, Matriz escalonada y escalonada reducida. Rango fila de una matriz escalonada. Matrices equivalentes, matrices elementales, La función determinante y sus propiedades, cálculo de determinantes. Adjunta de una matriz. 

Espacios Vectoriales. (4 semanas):

Definición y propiedades elementales. Sub-espacios. Combinación lineal, sub-espacio generado por un conjunto de vectores. Dependencia e independencia lineal. Base de un espacio vectorial, coordenadas de un vector respecto a una base ordenada, propiedades. Dimensión de un espacio vectorial. Cambio de base. Espacios asociados a una matriz: espacio fila, espacio columna, espacio nulo, espacio imagen. Rango y nulidad de una matriz. Bases ortonormales. Método de Gram-Schmidt.

Transformaciones lineales y valores propios. (4 semanas):

Transformaciones lineales. Núcleo, imagen, rango y nulidad de una transformación lineal. Isomorfismos. Matriz de una transformación lineal referida a un par de bases. Operaciones con transformaciones lineales y la matriz asociada con dichas operaciones. Transformaciones invertibles. Cambio de base. Matrices semejantes y cálculo con matrices semejantes. Valores vectores propios. Espacio propio, cálculo de valores y vectores propios. Diagonalización de matrices. Diagonalización ortogonal.

Texto guía

• Álgebra Lineal, Stanley |. Grossman, McGraw-Hill, 5% edición, 1995.

Bibliografía recomendada

1. Guías de Álgebra Lineal. Departamento de Matemáticas.
2. Fundamentos de Álgebra Lineal y Aplicaciones. Francis G. Florey F. Prentice/Hall Internacional.
3. Álgebra Lineal Aplicada. Noble, B. Y Daniel J. W. Prentice/ Hall Internacional.
4. Álgebra Lineal y teoría de Matrices. IN. Herstein, David J. A Winter. Grupo Editorial Iberoamérica.
5. Álgebra Lineal. Kolman, B. McGraw-Hilldia Services.