UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Análisis II (111082M) (Matemáticas) (4 créditos) (4 horas/semana)

(Prerrequisitos: Análisis I (111079M) (aprobado), Cálculo Avanzado (111076M) (aprobado) ).

Objetivos

1. El curso de Análisis II es una continuación natural del curso de Análisis I. En este curso se desarrollan con rigor los temas fundamentales del Análisis de las funciones de varias variables reales, haciendo especial énfasis en aquellos resultados que no son extensión directa de sus contrapartes del Análisis de funciones de una variable. En particular se estudian los teoremas de la función implícita y de la función inversa. Al igual que en el curso de Análisis I, además de familiarizar a los estudiantes con los resultados básicos de la materia, un objetivo subsidiario del curso es promover el desarrollo del pensamiento analítico, incluyendo las habilidades para entender y obtener demostraciones de resultados matemáticos, y la comprensión y proposición de ejemplos y contraejemplos.

Contenido

1. Funciones continuas en : Repaso de la topología de , funciones continuas y sus propiedades (continuidad y compacidad, continuidad y conexidad).

2. Derivadas de funciones vectoriales. Derivadas parciales y diferenciabilidad, derivadas direccionales y gradiente de una función, regla de la cadena, condiciones suficientes para la diferenciabilidad de una función, teorema del valor medio, derivadas de orden superior, igualdad de las derivadas parciales mixtas, fórmula de Taylor, puntos críticos y extremos locales de funciones.

3. Teoremas fundamentales. Teorema de la función inversa y teorema de la función implícita. Problemas de extremos con condiciones, el método de los multiplicadores de Lagrange.

4. Integrales múltiples de Riemann: integrales sobre rectángulos, contenido de Jordan, integración sobre conjuntos Jordan-medibles, teorema de Fubini, criterio de Lebesgue para la existencia de integrales de Riemann, teorema del cambio de variable (si el tiempo lo permite).

Bibliografía

1. Apostol, R.T. Análisis Matemático. 2da edición, Reverté, 1976
2. Bartle, R.G. The Elements of Real Analysis, John Wiley, 1976
3. Pugh, C.C. Real Mathematical Analysis, Springer, 2010
4. Rudin, W. Principles of Mathematical Analysis, 3a edición, Editorial McGraw Hill, 1976