UNIVERSIDAD DEL VALLE

FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS ¹

PROGRAMAS

(261shm2003)

Seminario Historia de las Matemáticas (111086M) (Matemáticas) (3 créditos) (9 horas/semana) (Prerrequisitos: Análisis I (111241M) y Fundamentos de Física I (106017M)).

Descripción

Es un curso general de historia de las matemáticas, en el cual se recogen autores y épocas que han marcado el derrotero de la actividad matemática desde la antigüedad hasta principios del siglo XX. En términos generales, las temáticas del curso están atravesadas por una discusión reiterada durante más de veinticinco siglos, sobre la teoría de la medida (longitudes, cuadraturas, curvaturas, etc), a la luz de la cual se fueron cimentando y fortaleciendo diversas ramas de las matemáticas como la geometría, la aritmética, el álgebra y el análisis.

Objetivos

1. Presentar un panorama general del desarrollo y fundamentación de las matemáticas, desde la antigüedad hasta principios del siglo XX.
2. Estudiar los principales aspectos teóricos de este proceso que permita al estudiante identificar, desde el punto de vista epistemológico, las conjeturas, los problemas relevantes y conceptuales de las matemáticas como actividad humana.
3. A través del estudio histórico favorecer la comprensión del funcionamiento de la investigación matemática.

Contenido

Unidad 1: Las matemáticas en la antigüedad griega.

Panorama General de las Matemáticas griegas. El programa euclidiano La matemática en la filosofía aristotélica. Número y magnitud en los Elementos. Axiomas y postulados en los Elementos Definiciones en los Elementos. Los Elementos: Un tratado sobre teoría de la medida. La medida de áreas en los Elementos. El álgebra geométrica de Euclides

Unidad 2: Número y magnitud en los elementos.

El antecedente de Platón y Aristóteles. Magnitudes conmensurables e inconmensurables. Medida de la diagonal del pentágono por uno de sus lados. La medida de la diagonal y el lado del cuadrado. Teoría de las proporciones en los Elementos. La teoría de los números en los Elementos.

Unidad 3: Las matemáticas de Arquímedes.

Alejandría: centro cultural del mundo. Vida de Arquímedes. La obra de Arquímedes. Revisión analítica de algunas obras de Arquímedes. El método exhaustivo. Medida del círculo. Cuadratura de la parábola. El arenario. El método.

Unidad 4: La aritmética y el álgebra de Diofanto.

Los trabajos de Ptolomeo. Las contribuciones matemáticas de Herón de Alejandría. El álgebra y el cálculo teórico de Diofanto.

Unidad 5: Las matemáticas árabes.

Sobre el papel de los árabes en la matemática.

Unidad 6: Los indivisibles de Cavalieri.

Los algebristas italianos. La ecuación de tercer grado. Las cuadraturas y las curvaturas. La vida de Cavalieri. Descripción de la Geometría. Los presupuestos de Cavalieri. El concepto de “todas las líneas” en Cavalieri. El principio de Cavalieri. Cuadraturas generalizadas.

Unidad 7: El método de las coordenadas.

La vida de Descartes. Contenido de la Geometría. Descartes y la resolución de la ecuación de segundo grado. La introducción de coordenadas en Descartes. La solución de la ecuación de tercer grado en Descartes

Unidad 8: El cálculo y la solución del problema de las cuadraturas.

La Europa matemática del siglo XVII. Variable y variación. La determinación de tangentes. La obra de Newton. La obra de Leibniz. El paso a lo continuo La emergencia del lenguaje simbólico en Leibniz.

Unidad 9: El período de rigorización del análisis.

En busca de los infinitesimales. De las variaciones a las funciones. El concepto de límite en el análisis de Cauchy. Las dificultades de controlar los procesos infinitesimales y la convergencia Uniforme. La derivada y la integral de Cauchy. La integral de Riemann.

Unidad 10: La emergencia de la teoría de conjuntos.

El continuo para Richard Dedekind. Las cortaduras de Dedekind. La caracterización del continuo matemático en Richard Dedekind. La introducción de los conjuntos actualmente infinitos. La teoría de números reales en Cantor. Los conjuntos derivados. Las diversas clases de infinitos y el continuo. El problema de la dimensión y los inicios de la topología conjuntista. De los conjuntos derivados a los números. Transfinitos Los transfinitos de Cantor. La hipótesis del continuo y la topología de la recta

Unidad 11: El problema de los fundamentos.

La crisis de la teoría de conjuntos. El axioma de escogencia. Intuicionismo, formalismo y logicismo. El teorema de Gödel.

Texto
Lecciones de Historia de las Matemáticas. Materiales del Profesor Luis Cornelio Recalde.

Bibliografía

1. Arquimedes. Obras. En: Vera Francisco. Científicos Griegos. Tomo Ii. Editorial Aguilar. Madrid. 1970.
2. Babini, J. Y Rey Pastor, J. Historia De La Matemática. Buenos Aires. Espasa – Calpe. Argentina. 1951.
3. Bourbaki, N. Elementos De Historia De Las Matemáticas. Alianza Editorial. Madrid.
4. Boyer, B Carl. Historia De La Matemática. Alianza Editorial. Madrid.1987.
5. Cauchy, L. Curso De Análisis. 1994.
6. Descartes, R. Geometría.
7. Edwards,C. H.J R. The Historical Development Of The Calculus. New York, Springer-Verlag. 1979.
8. Euclides. Elementos. En: Vera Francisco Científicos Griegos. Tomo I. Editorial Aguilar. Madrid. 1970.
9. Grattan-Guiness I. Del Cálculo A La Teoría De Conjuntos. 1630-1910. Una Introducción Histórica. Alianza Editorial. Madrid. 1982.
10. Hawkins. T. W. Lebesgué’s Theory Of Integration. Madison.
11. Kline, Morris. El Pensamiento De La Antigüedad A Nuestros Días. Alianza Universidad. Madrid. 1994. Tomos I, II, III.
12. Ribnikov, K. Historia De Las Matemáticas. Editorial Mir. Moscú. 1987.

1 Esta es una publicación del Departamento de Matemáticas de la Universidad del Valle, A.A. 25360, Cali, Colombia.