UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Análisis I (111079M) (Matemáticas) (4 créditos) (5 horas/semana)

(Prerrequisitos: Calculo Avanzado (111076M) (cursado) Teoría de Conjuntos (111074M) (cursado)

Objetivos

1. Introducir a los estudiantes del programa de matemáticas, y a otros estudiantes interesados, en el estudio riguroso del Análisis Matemático, principalmente enfocado en el estudio de las funciones de una variable real. En el curso se hará énfasis en las técnicas de demostración y en las pruebas de los teoremas, de manera que se sirva al doble propósito de familiarizar a los estudiantes con los resultados básicos del Análisis mientras se promueve en ellos el desarrollo del pensamiento abstracto.

Contenido

1. Unidad 1: Lenguaje Conjuntista (1 semana).
Conjuntos. Funciones. Relaciones de orden. Familias de conjuntos y operaciones conjuntistas generales.

2. Unidad 1, Los números reales (2 semanas):
Axiomática de los números reales. Aproximación de los números reales por decimales. Axioma de completitud y sus consecuencias. Números racionales e irracionales.

3. Unidad 3, Elementos de topología (2 semanas):
El espacio euclídeo \mathbb{R}^n. Conjuntos abiertos, cerrados, puntos de adherencia, puntos de acumulación, conjuntos compactos. Estructura de los subconjuntos abiertos de \mathbb{R}. Teorema de Bolzano-Weirestrass, teorema Cantor, teorema de Heine-Borel. Espacios métricos.

4. Unidad 4, Límites y continuidad (3 semanas):
Sucesiones convergentes, sucesiones de Cauchy, series numéricas, espacios completos, límites de funciones, funciones continuas, propiedades de las funciones continuas, conjuntos conexos, continuidad y conexidad, teorema de Bolzano, continuidad uniforme.

5. Unidad 5, Derivación (3 semanas):
Derivadas de funciones reales, la regla de la cadena, el teorema del valor medio, derivadas de orden superior y la fórmula de Taylor, la regla de L'Hopital.

6. Unidad 6, Sucesiones de funciones y convergencia uniforme (2 semanas):
convergencia uniforme de sucesiones de funciones, convergencia uniforme y continuidad, convergencia uniforme y diferenciación.

7. Unidad 7, La Integral de Riemann (3 semanas):
definición, propiedades, el teorema fundamental del cálculo, condición de Riemann, criterio de Lebesgue para la existencia de integrales de Riemann, convergencia uniforme e integración.

Bibliografía

1. Apóstol, T. M. Análisis matemático, 2da edición. Reverté, 1981.
2. Bartle, R.G. The Elements of Real Analysis, John Wiley, 1976
3. Bartle, R.G. Introducción al análisis matemático de una variable. Editorial Limusa, 1984.
4. J. Kirkwood. An Introduction to Análisis. PWS Publishing Company, Boston, 1995.
5. Pugh, C.C. Real Mathematical Analysis, Springer, 2010
6. Restrepo. G. Funciones de una variable real, teoría elemental. Editorial Universidad del Valle, 1995.
7. Rudin, W. Principles of Mathematical Analysis, 3a edición, Editorial McGraw Hill, 1976.