DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

Matemáticas Especiales (111058M) (Física) (4créditos) (4 horas/semana) (Prerrequísito: (111019M) (Aprobado), (111030M) (Aprobado))

Objetivos

Al finalizar el curso de matemáticas especiales para físicos, los estudiantes deben estar en capacidad de reconocer las diferentes propiedades de los espacios de Hilbert, poder realizar diferentes aplicaciones realizando análisis de Fourier.

Contenido

Unidad 1: Espacios métricos, normas y espacios de Banach.

Ejemplos de espacios de dimensión finita e infinita. Normas, normas equivalentes. Espacios Lp[a,b]. Teorema del punto fijo de Banach. Aplicaciones a los métodos iterativos lineales. Ejemplos de operadores lineales no acotados.

Unidad 2: Espacios con producto interno (Espacios pre-Hilbert) y Espacios de Hilbert.

Ejemplos de producto interno. Espacios de Hilbert. Propiedades: ortogonalidad, conjuntos ortonormales, sumas directas. Polinomios de Legendre, Hermite, Laguerre y Tchebyscheff. Representaciones de funciones en espacios de Hilbert. Serie de Fourier, desigualdad de Bessel e identidad de Parseval

Unidad 3: Series de Fourier Trigométrica

Representaciones de funciones periódicas continuas a trozos. Convergencia en L2. Convergencia puntual y convergencia uniforme. Teorema de Fejer. Derivación e integración de series trigonométricas de Fourier. Aplicaciones a la solución de la ecuación del calor de una dimensión: dimensión: distribución de temperatura en una barra aislada y con una fuente de calor (separación de variables).

Unidad 4: Operadores lineales acotados en espacios de Hilbert

Operador adjunto en espacios de Hilbert. Teorema de representación de Riesz. Operadores autoadjuntos (hermíticos). Propiedades de operadores autoadjuntos.

Unidad 5: Operadores diferenciales de segundo orden

Operador adjunto de un operador diferencial de segundo orden. Problema regular de Sturm-Lioville. Operador diferencial hermítico Función de Green: solución de un problema de Sturm-Lioville mediante la función de Green.

Unidad 6: Función de Green para la ecuación de Laplace

Solución fundamental. Solución de la ecuación de Laplace en Rn. Solución de la ecuación de Laplace en la bola unitaria.

Unidad 7: Cálculo variacional

Optimización en Rn (repaso). El problema de baquistrocrona. Condiciones necesarias para la existencia de soluciones del problema variacional restringido: ecuaciones de Euler-Lagrange (1 incógnita, N variables independientes). Ejemplos: superficie de área mínima. Multiplicadores de Lagrange: ejemplos (superficie de área mínima y volumen constante). Problema variacional con una variable independiente y N incógnitas: ecuaciones de movimiento de Lagrange y principio de Hamilton. Aplicaciones: distancia mínima, Principio de Fermat en óptica, etc.

Texto

Kreyszing Erwin, Introductory Functional Analysis with Aplications. Ed. John Wiley and Sond.

Bibliografía

1. R.V. Churchill. Fourier Series and Boundary Value Problems. MacGrawHill.
2. H. Margenau and G. M. Murphy. Mathematics of Physics and Chemistry. Van Nostrand-princeton. New Jersey.
3. P. HSU. Análisis de Fourier de HWEI. Editorial Fondo Educativo Interamericano.