UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

Geometría Diferencial (111084M) (3 créditos) (4 horas/semana) (Prerrequisito: Análisis I (111079M) (Habilitable))

Objetivos
Entender la noción de curva y superficie, conocer en detalle algunos ejemplos y comprender como el concepto de curvatura nos ayuda a analizar las superficies tanto geométrica como topológicamente.

Metodología
Clases magistrales por parte del profesor. Discusión de ejercicios, y ciertas lecturas asignadas.

Contenido

1. Unidad 1. Curvas. (2 semanas)
Definición de curva en Rn. Parametrización de curvas. Curvas regulares. Longitud de una curva. Campo vectorial a lo largo de una curva. Curvatura y torsión de una curva. Teorema fundamental de curvas.

2. Unidad 2. Superficies regulares (4 semanas)
Definición de superficie regular. Imagen inversa de valores regulares. Cambio de coordenadas. Curvas sobre superficies. Plano tangente. Diferenciabilidad de funciones definidas sobre superficies. Primera forma fundamental. Orientación de superficies.

3. Unidad 3. Aplicación de Gauss. (4 semanas)
Definición de la aplicación de Gauss. Segunda forma fundamental. Curvaturas principales. Direcciones principales. Curvatura de Gauss. Curvatura media. Puntos elípticos, Hiperbólicos, Parabólicos, Planares y Umbílicos de una superficie. La aplicación de Gauss en coordenadas. Campos vectoriales. Superficies mínimas.

4. Unidad 4. Geometría intrínseca de las superficies. (4 semanas)
Isometrías. Difeomorfismos. Transformaciones conformes. Símbolos de Cristoffel. Derivada covariante. Transporte paralelo. Geodesicas. Característica de Euler. Teorema de Gauss-Bonnet. Aplicaciones del teorema de Gauss-Bonnet

Evaluación

Parcial 1 - Opcional 1 40%
Parcial 2 - Opcional 2 40%
Quices (6 exámenes de 30 minutos) 20%

Bibliografía - Texto Guía

1. M. P. Do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1976.