UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

Ecuaciones Diferenciales (111077M) (Matemáticas) (4 créditos) (4 horas/semana) (Prerrequisitos: Cálculo II (111073M) cursado; Álgebra Lineal (111071M) cursado (Habilitable))

Presentación

Este curso se centra en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias como unos de los principales instrumentos matemáticos empleados en la modelación de fenómenos naturales, que van desde la determinación de la antigüedad de un fósil al estudio de problemas de mecánica como la caída de un cuerpo en un medio resistivo o el comportamiento de un oscilador mecánico. El énfasis del curso está en los modelos lineales, aunque ocasionalmente se estudian también ecuaciones no lineales. Si el tiempo lo permite el curso puede incluir una introducción a las ecuaciones parciales.

Objetivos Generales

Al finalizar el curso los estudiantes deberían estar en capacidad de:

1. Determinar de manera explícita las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales ordinarias mediante el empleo de técnicas clásicas, principalmente en el caso lineal.
2. Plantear modelos matemáticos sencillos en términos de ecuaciones diferenciales y simultáneamente interpretar las soluciones en contextos específicos.
3. Explicar el contenido de los teoremas de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales, así como interpretarlo y aplicarlo en casos concretos.
4. Aplicar técnicas que permiten el estudio de ciertas ecuaciones diferenciales cuando no es posible resolver esas ecuaciones de manera explícita.

Contenido

1. Ecuaciones diferenciales de primer orden y aplicaciones (5.5 semanas)
Nociones fundamentales. Teorema fundamental de existencia y unicidad de soluciones para ecuaciones de primer orden. Técnicas de solución de ecuaciones de primer orden: separación de variables, integrales de ecuaciones exactas, cálculo de factores integrantes, ecuaciones lineales de primer orden, cambios de variables. Ecuaciones reducibles a primer orden. Aplicaciones de las ecuaciones de primer orden (se puede seleccionar entre algunos de los siguientes temas): leyes de crecimiento y de decrecimiento, problemas de mecánica (caída libre, caída en medio resistivo), problemas de mezclas, cálculo de trayectorias ortogonales, problemas geométricos (curvas de persecución, etc.). Métodos cualitativos para ecuaciones de primer orden. Estabilidad de las soluciones. Introducción a los métodos numéricos: método de Euler.

2. Ecuaciones lineales de segundo orden y órdenes superiores y sus aplicaciones (5 semanas)
Estructura de las soluciones de las ecuaciones lineales de segundo orden (teoremas básicos de superposición, teorema de existencia y unicidad de soluciones de problemas con condiciones iniciales). Técnicas de solución: obtención de conjuntos fundamentales de soluciones para ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes, reducción de orden, obtención de soluciones particulares para ecuaciones no homogéneas: método de los coeficientes indeterminados y variación de parámetros. Aplicaciones de las ecuaciones de segundo orden: osciladores mecánicos, oscilaciones libres no amortiguadas, y amortiguadas, oscilaciones forzadas. Ecuaciones de orden superior. Soluciones en términos de series de potencias: soluciones en torno a puntos ordinarios, y en torno a puntos singulares regulares (método de Frobenius). La ecuación de Bessel y otras ecuaciones de la matemática-física.

3. Sistemas de ecuaciones (2.5 semanas)
Sistemas lineales: propiedades básicas. Sistemas homogéneos con coeficientes constantes: el método de los vectores propios generalizados. Retratos de fases. Sistemas no homogéneos: variación de parámetros y el método de los coeficientes indeterminados.

4. Introducción a las ecuaciones parciales (2.5 semanas)
Separación de variables y series de Fourier. La ecuación de onda, la ecuación del calor.

Bibliografía

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4. Simmons, G.F. Ecuaciones diferenciales: teoría, técnica y práctica. MacGraw Hill, España, 2007.
5. Blanchard, P., R.L. Devaney y G.R. Hall. Ecuaciones diferenciales. Thompson, México, 1999.
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