UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Cálculo II (111073M). (Matemáticas) (4 créditos) (5 Horas/semana) (Prerrequísito: Cálculo I (111070M), Algebra Lineal (111071M) Cursado) (Habilitable).

Objetivos

1. Establecer conceptos fundamentales en temas como series, sucesiones, convergencia, funciones vectoriales.
2. Presentar al estudiante aplicaciones geométricas y de algunos conceptos de la física, como masa, centro de gravedad, etc.
3. Extender los conceptos de límite, derivación e integración a funciones de varias variables y (campos escalares y vectoriales) y estudiar algunas aplicaciones.

Contenido

1. Aplicaciones de la integral. (3 semanas):Técnicas de integración (repaso). Aplicaciones: Área, volumen de un sólido de revolución. Longitud de arco y área de una superficie de revolución. Valor promedio de una función. Momentos y centros de masa. Centroide y centro de gravedad. Teoremas de Pappus. Presión de un fluido. Trabajo. Área de una región en coordenadas polares.

2. Formas indeterminadas. (2 semanas): Formas indeterminadas. Integrales impropias, convergencia.

3. Sucesiones y series. (4 semanas): Sucesiones. Series complejas y reales. Propiedades. Serie geométrica y series telescópicas. Criterio de la integral. Criterios de convergencia para series de términos no negativos, comparación, por paso al límite, cociente y de la raíz. Series alternadas. Criterio de Leibniz. Convergencia absoluta y condicional. Reordenación de series. Sucesiones y series de funciones. Convergencia uniforme de sucesiones de funciones. Convergencia uniforme y continuidad. Convergencia uniforme y integración. Condición suficiente para la convergencia uniforme. Series de potencias, círculo de convergencia. Propiedades. Polinomio de Taylor. Serie de Taylor. Serie binomial. Aplicaciones.

4. Funciones vectoriales. (3 semanas): Definición, límite, derivada, integral, vector tangente, normal. Aceleración, componentes normal y tangencial de la aceleración, curvatura, longitud de curvas.

5. Funciones de varias variables. (3 semanas): Campos vectoriales y campos escalares. Curvas y superficies de nivel. Cilindros, superficies de revolución y superficies cuadráticas. Límite y continuidad. Derivada direccional y derivadas parciales de campos escalares. Interpretación geométrica. Derivada total. Gradiente de un campo escalar. Derivadas parciales de orden superior. Regla de la cadena. Aplicaciones: Recta normal y plano tangente a una superficie.

Derivada de campos vectoriales. Forma matricial de la regla de cadena.

Texto guía

1. Tom Apóstol. Calculus Vol. I,, Editorial Reverté, España.
2. Tom Apóstol. Calculus Vol. II. Editorial Reverté, España.

Bibliografía

1. Marsden - Tromba, Cálculo vectorial, Addison Wesley, 4a Edición, 1998.
2. Thomas - Finney, Cálculo en varias variables. Editorial Addison wesley, Vol l, II.
3. Michael Spivak. Cálculo infinitisimal, editorial reverté, Vol II, 1977.
4. Sherman Stein, Barcellos, Cálculo y Geometría analítica, editorial Mcgraw Hill, vol I y II, 1995.