UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Cálculo I (111070M) (Matemáticas) (4 créditos) (5 horas/semana) (Prerrequisito: Matemática Fundamental (111067M))

Objetivos

1. Presentar una introducción a los procesos de paso al límite orientados al estudio de las ideas básicas del cálculo diferencial e Integral, así también introducir las técnicas fundamentales inherentes a tales conceptos y sus aplicaciones en la solución de algunos problemas elementales.
2. Familiarizar al estudiante con las funciones exponencial y logaritmo y sus propiedades. Instruir al estudiante en las técnicas de integración
3. Fomentar en el estudiante la escritura rigurosa mediante el desarrollo de problemas que involucren definiciones y teoremas.

Contenido

1. Unidad 1. Funciones: Límite y Continuidad (3 semanas)
Límite de una función. Propiedades de los límites. Teorema de intercalación. Límites unilaterales, Límites infinitos y al infinito. Continuidad en un punto. Continuidad lateral. Continuidad en un intervalo. Propiedades de las funciones continuas. Teorema de la conservación del signo de las funciones continuas. Teorema de Bolzano. Teorema del valor intermedio. Máximos y mínimos de funciones continuas. Continuidad de las funciones trigonométricas.

2. Unidad 2. La Derivada (3 semanas)
Definición de derivada de una función en un punto. La función derivada. Interpretación geométrica de la derivada. Recta tangente y recta normal a la gráfica de una función en un punto. Diferenciabilidad y continuidad. Propiedades de la derivada. La derivada como coeficiente de variación. Ejemplos. La diferencial y la linealización. Derivada de las funciones trigonométricas. Derivadas de orden superior. Regla de la cadena. Derivación implícita. Derivada de la función inversa. Derivada de las funciones trigonométricas inversas. Teoremas fundamentales. La Regla de la Cadena. Teorema de Rolle. Teorema del valor medio. La Regla de L'Hôpital.

3. Unidad 3. Aplicaciones de la derivada (3 semanas)
Aplicaciones de la derivada. Razones de cambio relacionadas. Problemas de aplicación. Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos locales y absolutos. Máximos y mínimos en [a, b]. Criterio de la primera derivada. Problemas de aplicación. Concavidad y puntos de inflexión. Criterio de la segunda derivada. Aplicación a problemas. Trazado de curvas, asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.

4. Unidad 4. La integral y sus propiedades (2 semanas)
Integral: El problema del área bajo una curva. Sumas de Riemann. Definición de integral definida como límite de una suma de Riemann. Propiedades de la Integral definida. Antiderivada. Propiedades. Teorema Fundamental del Cálculo. Cálculo de áreas. Cambio de variable. Sustitución. Integración por partes.

5. Unidad 5. La función logaritmo (2 semanas)
La función logaritmo natural. Propiedades. Gráfica. Logaritmos referidos a una base positiva a. Gráficas. Derivación e integración de funciones en que intervienen los logaritmos. Trazado de curvas que involucran la función logaritmo. Derivación logarítmica. La función exponencial. Propiedades. Gráfica. Definición de ax, para a > 0 y x real. Derivación e integración de funciones donde interviene la función exponencial. Funciones hiperbólicas.

6. Unidad 6. Otras técnicas de integración (2 semanas)
Sustituciones trigonométricas. Fracciones parciales. Potencias y productos de seno y coseno. Otras potencias trigonométricas, Integrales en que intervienen expresiones de la forma a2 + x2. Expresiones racionales de seno y coseno.

Texto Guía
Tom M. Apostol T. "Calculus, Vol. 1", Editorial Reverté, España, 1973, capítulos 3, 4, 1, 2, 5, 6.

Bibliografía

1. Thomas, Finney Cálculo de una Variable, Addison Wesley Longman, 9a edición . Vol I.
2. Spivak, M. Cálculo infinitisimal, editorial reverté, Vol. I, 1977.
3. Stein, S. y Barcellos, A. Cálculo y Geometría Analítica, McGrawHill, España, 1995.