UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Álgebra Lineal (111048M) (OCT) (3 créditos) (5 horas/semana)

(Prerrequisito: Cálculo I (111050M) (Cursado)

Objetivos Generales

1. Presentar los conceptos fundamentales del álgebra vectorial y algunas aplicaciones a la geometría analítica.
2. Proporcionar una clara comprensión y manejo de los conceptos básicos del álgebra lineal como: matrices, espacios vectoriales, transformaciones lineales, valores y vectores propios.
3. Mostrar la relación entre los conceptos básicos del álgebra lineal y la solución de sistemas de ecuaciones lineales
4. Mostrar, mediante ejercicios y lecturas complementarias la importancia del conocimiento básico del álgebra lineal en otras disciplinas.

Contenido

1. Vectores. (3 semanas)
Vectores libres, operaciones con vectores, vectores y coordenadas, longitud de un vector, cosenos directores. Componentes de un vector, producto escalar de vectores, el vector proyección y la proyección escalar de un vector sobre otro. Producto vectorial. Ortogonalidad. Rectas y planos en el espacio.

2. Matrices sistemas de ecuaciones lineales. (4 Semanas)
Matrices, álgebra de matrices, matrices especiales (diagonal, idéntica, nula, idempotente, nilpotente, inversa, traspuesta, simétrica, antisimétrica, ortogonal, conjugada, hermítica) y sus propiedades. Sistemas de ecuaciones lineales, sistemas equivalentes, matriz asociada al sistema de ecuaciones lineales, eliminación de Gauss y de Gauss Jordan. Matriz escalonada y escalonada reducida. Rango fila de una matriz escalonada. Matrices equivalentes, matrices elementales. La función determinante y sus propiedades, cálculo de determinantes. Adjunta de una matriz.

3. Espacios Vectoriales. (4 semanas)
Definición y propiedades elementales. Subespacios. Combinación lineal, subespacio generado por un conjunto de vectores. Dependencia e independencia lineal. Base de un espacio vectorial, coordenadas de un vector respecto a una base ordenada, propiedades. Dimensión de un espacio vectorial. Cambio de base. Espacios asociados a una matriz: espacio fila, espacio columna, espacio nulo, espacio imagen. Rango y nulidad de una matriz. Bases ortonormales. Método de Gram-Schmidt.

4. Transformaciones lineales y valores propios. (4 semanas)
Transformaciones lineales. Nucleo, imagén, rango y nulidad de una transformación lineal. Isomorfismos. Matriz de una transformación lineal referida a un par de bases. Operaciones con transformaciones lineales y la matriz asociada con dichas operaciones. Transformaciones invertibles. Cambio de base. Matrices semejantes y cálculo con matrices semejantes. Valores y vectores propios. Espacio propio, cálculo de valores y vectores propios. Diagonalización de matrices. Diagonalización ortogonal.

Texto Guía
Stanley I. Grossman. Álgebra Lineal, McGraw-Hill, 5ª edición, 1995.

Bibliografía

1. Departamento de Matemáticas. Guías de álgebra Lineal.
2. Francis G. Florey F. Fundamentos de Álgebra Lineal y Aplicaciones. Prentice/Hall Internacional.
3. Noble, B. Y Daniel J. W. Álgebra Lineal Aplicada. Prentice/ Hall Internacional.
4. I.N. Herstein, David J. A Winter. Álgebra Lineal y teoría de Matrices. Grupo Editorial Iberoamérica.
5. Kolman, B. McGraw-Hill. Álgebra Lineal.